有限数学示例

$(\frac{3}{4} r - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $r$ 。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

解题步骤 1.1.2

组合 $s$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{s \cdot 2}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

解题步骤 1.1.3

将 $2$ 移到 $s$ 的左侧。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $r$ 。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{1}{3} s)$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $s$ 。

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{3 r}{4} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3}) - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

乘以 $\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $\frac{3 r}{4}$ 乘以 $\frac{5 r}{4}$ 。

$\frac{3 r (5 r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.1.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 r \cdot r}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.1.3

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 (r^{1} r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.1.4

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 (r^{1} r^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 r^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 r^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.1.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $3 r$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 (r)}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r}{4} s - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.3

组合 $\frac{r}{4}$ 和 $s$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $- \frac{2 s}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.4.2

从 $- 2 s$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.4.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 (2)} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.4.4

约去公因数。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.4.5

重写表达式。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s}{3} \cdot \frac{5 r}{2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.5

将 $\frac{- s}{3}$ 乘以 $\frac{5 r}{2}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s (5 r)}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

解题步骤 3.1.9

乘以 $- \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$ 。

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解题步骤 3.1.9.1

将 $\frac{s}{3}$ 乘以 $\frac{2 s}{3}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{s (2 s)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.9.2

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.9.3

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s^{1})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.9.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2

从 $\frac{r s}{4}$ 中减去 $\frac{5 s r}{6}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $s$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.2

要将 $\frac{r s}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.3

要将 $- \frac{5 r s}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{r s}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\frac{5 r s}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.4.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.3

要将 $\frac{15 r^{2}}{16}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.4

要将 $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $48$ 的形式。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{15 r^{2}}{16}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.5.2

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.5.4

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{15 r^{2} \cdot 3 + (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.7

重新排序项。

$\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.8

用公分母合并 $\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48}$ 和 $- \frac{2 s^{2}}{9}$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $3 \cdot 15 r^{2}$ 和 $4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s)$ 重新排序。

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.8.2

要将 $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9}$

解题步骤 3.8.3

要将 $- \frac{2 s^{2}}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 3.8.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $144$ 的形式。

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解题步骤 3.8.4.1

将 $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{48 \cdot 3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 3.8.4.2

将 $48$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 3.8.4.3

将 $\frac{2 s^{2}}{9}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{9 \cdot 16}$

解题步骤 3.8.4.4

将 $9$ 乘以 $16$ 。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 3.8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(4 (3 r s - 10 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.1.2

从 $3 r s$ 中减去 $10 r s$ 。

$\frac{(4 (- 7 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(- 28 (r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.1.4

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$\frac{(- 28 r s + 45 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{- 28 r s \cdot 3 + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $- 28$ 。

$\frac{- 84 r s + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $45$ 。

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

解题步骤 4.5

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6

分组因式分解。

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解题步骤 4.6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 135 \cdot - 32 = - 4320$ 并且它们的和为 $b = - 84$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

重新排序项。

$\frac{135 r^{2} - 32 s^{2} - 84 r s}{144}$

解题步骤 4.6.1.2

将 $- 32 s^{2}$ 和 $- 84 r s$ 重新排序。

$\frac{135 r^{2} - 84 r s - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $- 84 r s$ 中分解出因数 $- 84$ 。

$\frac{135 r^{2} - 84 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6.1.4

把 $- 84$ 重写为 $36$ 加 $- 120$

$\frac{135 r^{2} + (36 - 120) (r s) - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6.1.5

运用分配律。

$\frac{135 r^{2} + 36 (r s) - 120 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6.1.6

移动括号。

$\frac{135 r^{2} + 36 r s - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(135 r^{2} + 36 r s) - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

解题步骤 4.6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{9 r (15 r + 4 s) - 8 s (15 r + 4 s)}{144}$

解题步骤 4.6.3

通过因式分解出最大公因数 $15 r + 4 s$ 来因式分解多项式。

$\frac{(15 r + 4 s) (9 r - 8 s)}{144}$

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